Simplificando fatorial

Fatorial
Simplificando a expressão (5! / 3!) + 2!,encontramos:
a) 18
b)19
c)20
d)21
e)22
Resposta:

(5 . 4 . 3! / 3!) + 2! =
20 + 2 . 1
20 + 2 =
22
letra e).

As emissoras FM

Progressão Aritmética

Em cada região especificada pela Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel), as frequências das emissoras de rádio FM devem variar de 87,9 a 107,9 MHz, e a diferença entre duas frequências consecutivas deve ser 0,2 MHz. O número máximo de emissoras FM que podem funcionar em uma mesma região de acordo com a Anatel é:

a) 99

b) 100

c) 101

d) 102

e) 103

 

Resposta:

an = 107,9
a1 = 87,9
r = 0,2
n = ?
an = a1 + ( n - 1).r
107,9 = 87,9 + ( n -1 ).0,2
107,9 - 87,9 = ( n -1 ). 0,2
20 = ( n -1 ) . 0,2
n - 1 = 20 / 0,2
n - 1 = 100
n = 100 + 1
n = 101
letra c).

 

 

A concessionária e o pedágio

Progressão

Uma concessionária de pedágio instalou em uma rodovia postos de atendimento a cada 26 km. Sabendo que há um posto no quilômetro 108, qual o número de postos entre os quilômetros 150 e 350?

a)40

b)32

c)24

d)16

e)8

 

Resposta:

O primeiro posto está no km 160

último posto está no km 342,logo temos:
P.A ( 160, 186, 212..., 342)a1 = 160
an = 342
n = ?
r = 26
an = a1 + (n - 1) . r
342 = 160 + (n - 1) . 26
342 = 160 + 26n - 26
342 = 26n + 134
342 - 134 = 26n
26n = 208
n = 208 / 26
n = 8
letra e).

Múltiplos de 4 e 5

Progressão
Entre os números 550 e 3450, quantos são os múltiplos de 4 e 5 ao mesmo tempo?
a)105
b)125
c)135
d)145
e)155
Resposta:

Múltiplos de 4 e 5 ao mesmo tempo. Ou seja, múltiplos de 20.
PA (560, 580, ..., 3440)
an = a1 + (n - 1).r
3440 = 560 + (n - 1).20
3440 = 560 + 20n - 20
20n = 3440 - 560 + 20
20n = 2900
n = 145
letra d).

Módulo das raízes

Polinômios

Considerando o polinômio de 3º grau t³- 4t² + t + 6 , é correto afirmar que a soma dos módulos das raízes desse polinômio é:

a)6

b)5

c)4

d)3

e)2

 

Resposta:

t³ - 4t² + t + 6 = (t - 3).(t² - t - 2),logo vem:
t - 3 = 0
t = 3
t² - t - 2 = 0,fica:
t' = 2

Resolvendo expressão

Expressão Numérica
O resultado da expressão (0,3) . (0,7) - 5. (0,02) / (0,5) .  (0,2) é:
a) 0,11
b) 11
c) 0,1
d) 1,1
e)1.01
Resposta:

( 0,21 - 0,1 ) / 0,1 =
0,11 / 0,1
11 / 10 = 1,1
letra d).

Propriedade dos números decimais

Números decimais

O quociente de -1,2 por + 0,6, o produto entre -0,6 e -1,2 e o cubo de -1,5, são respectivamente:

a) -2, + 0,72, - 3,375

b) +2, -0,72, - 1/15

c) -2, + 0,72, -1/125

d)+2, - 0,72, + 1/125

e)+2, - 0,72, - 3,375

 

Resposta:

transformando em números fracionários,vem:
1,2 = 12/10
0,6 = 6/10
1,5 = 15/10.daí temos:
-12/10 : 6/10 = -12/10 . 10/6 = -120/60 = -2
-6/10 . -12/10 = 72/100 = 0,72 
(-15/10)³ = -15³/10³ = -3375/1000 = - 3,375
letra a).

Achando a soma

Progressão Aritmética
(Unitau-SP) A soma dos números impares de 1 a 51 é:
a)676
b)663
c)1326
d)1352
e)446

Resposta:

P.A = ( 1,3,5, ... , 51)
r = 2

51 = 1 + (n - 1). 2
n - 1 = 50 / 2
n = 26,logo a soma fica:
Sn = (1 + 51 ).26 / 2
Sn = 676
letra a).

Solucionando o sistema

Sistema de Equações
 A solução do sistema
[x / 4 + y / 5 = 2
[(2x +1 ) / 3 - ( y - 3 ) / 2 = 2,é:

a) (5,3)
b) (9,10)
c) (2,4)
d) (6,7)
e) (4,5)

Resposta:

Preparando o sistema:
1ªequação fica :20x/4 + 20y/5 = 40

5x + 4y = 402ªequação fica: 2(2x + 1) - 3(y - 3) = 12,logo vem:4x + 2 - 3y + 9 = 12
4x  - 3y = 12 - 2 - 9
4x - 3y = 1,assim o sistema ficará:
[5x + 4y = 40
[4x - 3y = 1
isolando x na 2ª equação,temos:
x = (1+3y) / 4
substituindo na 1ªequação, vem:
5[(1+3y) /4] + 4y = 40
(5 + 15y) / 4 + 4y = 40
5+15y + 16y = 160
15y + 16y = 160 - 5
31y = 155
y = 5, logo:
x = (1+3.5) / 4
x =  (1+15) / 4
x = 16 / 4
x = 4
letra e).

Raízes da equação

Equação Biquadrada

Pedro e Zeca apostaram que acertariam o resultado da

soma das raízes da equação 2x⁴ - 5x² -3 = 0. Sabendo-se que Zeca acertou, pode-se concluir que sua resposta foi:

a) –3

b) –2

c) –0,5

d)0

e)1

 

Resposta:

2x⁴ - 5x² - 3 = 0

fazendo x² = y,vem:
2y² - 5y -3 = 0,onde:y'  = 3,e
y'' = -0,5
x² = y'
x² = 3
x = ± √3
x' = √3
x''= -√3
x² = y''
x² = -0,5
x = ± √-0,5( não serve no campo dos reais) ,logo como as raízes são opostas ,a soma delas é zero
letra d).

A idade atual

Sistema de Equações

O quadrado da idade de Douglas menos a idade que ele tinha 5 anos atrás é igual 1727. A idade atual de Douglas, está entre:

a)0 e 9

b)10 e 19

c)20 e 29

d)30 e 39

e)40 e 49

 

Resposta:

 idade atual de Douglas ==> D
idade que Douglas tinha há 5 anos ==>de (D - 5)

D² - (D - 5) = 1.727 
D² - D + 5 = 1.727 
D² - D + 5 - 1.727 = 0
D² - D - 1.722 = 0 ,logo vem:
D' = - 41 (não serve)
D'' = 42
D = 42 anos 
42 anos está no intervalo de 40 e 49
letra e).

Quadrado perfeito

Polinômios
Se o polinômio 3x² - 12x + k é um quadrado perfeito então k é um número:
a)ímpar
b)primo
c)divisível por 7
d)divisível por 5
e)divisível por 2

Resposta:

um trinômio quadrado perfeito é da forma:

a² + 2ab + b²
pela propriedade do trinômio quadrado perfeito,temos:
2ab = 2 .√(a².b²),daí em: 

3x² - 12x + k, temos:
12 = 2 . √(3.k)
6 = √(3k)
(√3k)² = 6²
3k = 36
k = 12
letra e).

Meios aritméticos

Progressão
A quantidade de múltiplos de 4 entre os números 550 e 3450, é:
a)325
b)455
c)525
d)655
e)725
Resposta:

P.A (552, 556, ...., 3448)

an = a1 + (n - 1).r
3448 = 552 + (n - 1).4
552 + 4n - 4 = 3448
4n = 3448 - 552 + 4
4n = 2900
n = 725
letra e).