Aplicando o Princípio da Contagem

Análise Combinatória

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9?
a)28
b)124
c)328
d)576
e)3024

Resposta:

Pelo Princípio da Contagem, temos:

9.8.7.6 = 3024 algarismos que podemos formar;

ou calculando através de arranjos:

A9,4 = 9!/(9 - 4)!

A9,4 = 9!/5!

A9,4 = 9,8.7.6.5!/5!

A9,4 = 3024

letra e).

Operando com polinômio

Polinômois
Sabendo que P(x) = x³ + (a – 2)x² + (b – 4)x – 3, admite as raizes 1 e -1, então a soma de a e b,é;

a)4
b)5
c)6
d)7
e)8

Resposta:

P(1),é:
1³ + (a - 2).1² + (b - 4).1 - 3 = 0
1 + a - 2 + b - 4 - 3 = 0
a + b - 8 = 0
a + b = 8

P(-1),é:
(- 1)³ + (a - 2)(- 1)² + (b - 4)(- 1) - 3 = 0
- 1 + a - 2 - b + 4 - 3 = 0
a - b - 2 = 0
a - b = 2

resolvendo o sistema:
[a + b = 8
[a - b = 2
2a = 10
a = 5

5 + b = 8
b = 8 - 5
b = 3,logo:
a + b----->5 + 3 = 8
letra e).

Somando os radicais

Operação Com Radicais
Sendo M = 2/(√5 - √3) e N = 2(√5 + √3), então o valor de M + N,é:
a)4√5
b)2√5
c)√5
d)√3 + 3√5
e)4√3

Resposta:

M = 2 / (√5 - √3) -> 2(√5 + √3) / 2 -> √5 + √3
N = 2 / (√5 + √3) -> 2(√5 - √3) / 2 -> √5 - √3
M + N---->√5 + √3 + √5 - √3
M + N = 2√5
letra b).

Achando a intersecção

Operação Com Conjuntos
Se o conjunto A tem 20 elementos, B tem 52 elementos e AUB tem 60. Qual é o número de elementos em comum de A e B?
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12

Resposta:

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
60 = 20 + 52 - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = 12
letra e).

Rendimento do carro

Equação do 2ºGrau
O carro de José rende 5 quilômetros por litro de combustível a mais quando usado na estrada do que quando usado na cidade. Em uma pequena viagem, José percorreu 40 km na cidade e 90 km na estrada, gastando um total de 10 litros de combustível. Quantos quilômetros por litro de combustível o carro de José rende na estrada?
a)15
b)13
c)10
d)9
e)4

Resposta:

x---->valor de km/l na estrada
y---->valor de km/l na cidade.
[x = y + 5
[40/y + 90/x = 10
substituindo x = y + 5,na segunda equação,temos:
y² - 8y - 20 = 0
y' = -2 e y'' = 10,logo:
x = 10 + 5
x = 15km/l
letra a).

Recebendo as duas vacinas

Operação com Conjuntos
A Secretaria Municipal de Saúde da cidade de Arapongas,analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças da creche Dona Benta,verificou que 68 receberam vacina Sabin,50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?
a)46
b)56
c)64
d)65
e)72

Resposta:

U = universo
U = 84 - 12
U = 72

vacina sabin = A = 68
vacina sarampo = B = 50
n = quantidade
U = n(A) + n(B) - n(A inter B)
72 = 68 + 50 - n(A inter B)
72 - 118 = - n(A inter B)
A inter B = 46
letra a).

Abastecendo com café e açucar

Mínimo Múltiplo comum

(CESPE)Considere que foram gastos R$ 1.563,00 para abastecer com café e açúcar a copa de um escritório de advocacia. Sabendo-se que cada pacote de 500 g de café custou R$ 5,85 e que cada pacote de 5 kg de açúcar custou R$ 4,25 e ainda que as quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de café estão, nessa ordem, na proporção 2/3 , julgue os itens seguintes. O mínimo múltiplo comum entre os números que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar é inferior a 300.

( ) Certo ( ) Errado

Resposta:

Pacotes de açucar/Pacotes de café = 2/3 Entao, a cada 2 pacotes de açucar utilizados, são gastos 3 de café. Podemos fazer a seguinte conta 2 x 4,25 = 8,5 e 3 x 5,85 = 17,55.

Para facilitar chamaremos a soma destes dois valores de KIT, o qua custa 26,05 e possui 2 pacotes de açucar e 3 pacotes de café.

Para sabermos quantos KITs foram usados fazemos 1563/26,05 = 60 KITs.

Cada KIT possui 2 pacotes de açucar = 60 x 2 = 120 e possui 3 pacotes de café = 60 x 3 = 180.

MMC(120 ,180) = 120;240;360;480...

180 = 180;360;540...

mmc = 360 que é superior a 300.

Errado.