Progressão Aritmética
(Unitau-SP) A soma dos números impares de 1 a 51 é:
a)676
b)663
c)1326
d)1352
e)446
Resposta:
P.A = ( 1,3,5, ... , 51)
r = 2
51 = 1 + (n - 1). 2
n - 1 = 50 / 2
n = 26,logo a soma fica:
Sn = (1 + 51 ).26 / 2
Sn = 676
letra a).
Seu objetivo é oferecer mais um instrumento de consulta para os concurseiros e estudantes em geral.
segunda-feira, 15 de abril de 2013
quarta-feira, 10 de abril de 2013
Solucionando o sistema
Sistema de Equações
A solução do sistema
[x / 4 + y / 5 = 2
[(2x +1 ) / 3 - ( y - 3 ) / 2 = 2,é:
a) (5,3)
b) (9,10)
c) (2,4)
d) (6,7)
e) (4,5)
Resposta:
Preparando o sistema:
1ªequação fica :20x/4 + 20y/5 = 40
5x + 4y = 402ªequação fica: 2(2x + 1) - 3(y - 3) = 12,logo vem:4x + 2 - 3y + 9 = 12
4x - 3y = 12 - 2 - 9
4x - 3y = 1,assim o sistema ficará:
[5x + 4y = 40
[4x - 3y = 1
isolando x na 2ª equação,temos:
x = (1+3y) / 4
substituindo na 1ªequação, vem:
5[(1+3y) /4] + 4y = 40
(5 + 15y) / 4 + 4y = 40
5+15y + 16y = 160
15y + 16y = 160 - 5
31y = 155
y = 5, logo:
x = (1+3.5) / 4
x = (1+15) / 4
x = 16 / 4
x = 4
letra e).
A solução do sistema
[x / 4 + y / 5 = 2
[(2x +1 ) / 3 - ( y - 3 ) / 2 = 2,é:
a) (5,3)
b) (9,10)
c) (2,4)
d) (6,7)
e) (4,5)
Resposta:
Preparando o sistema:
1ªequação fica :20x/4 + 20y/5 = 40
5x + 4y = 402ªequação fica: 2(2x + 1) - 3(y - 3) = 12,logo vem:4x + 2 - 3y + 9 = 12
4x - 3y = 12 - 2 - 9
4x - 3y = 1,assim o sistema ficará:
[5x + 4y = 40
[4x - 3y = 1
isolando x na 2ª equação,temos:
x = (1+3y) / 4
substituindo na 1ªequação, vem:
5[(1+3y) /4] + 4y = 40
(5 + 15y) / 4 + 4y = 40
5+15y + 16y = 160
15y + 16y = 160 - 5
31y = 155
y = 5, logo:
x = (1+3.5) / 4
x = (1+15) / 4
x = 16 / 4
x = 4
letra e).
segunda-feira, 8 de abril de 2013
Raízes da equação
Equação Biquadrada
Pedro e Zeca apostaram que acertariam o resultado da
soma das raízes da equação 2x⁴ - 5x² -3 = 0. Sabendo-se que Zeca acertou, pode-se concluir que sua resposta foi:
a) –3
b) –2
c) –0,5
d)0
e)1
Resposta:
2x⁴ - 5x² - 3 = 0
fazendo x² = y,vem:
2y² - 5y -3 = 0,onde:y' = 3,e
y'' = -0,5
x² = y'
x² = 3
x = ± √3
x' = √3
x''= -√3
x² = y''
x² = -0,5
x = ± √-0,5( não serve no campo dos reais) ,logo como as raízes são opostas ,a soma delas é zero
letra d).
2x⁴ - 5x² - 3 = 0
fazendo x² = y,vem:
2y² - 5y -3 = 0,onde:y' = 3,e
y'' = -0,5
x² = y'
x² = 3
x = ± √3
x' = √3
x''= -√3
x² = y''
x² = -0,5
x = ± √-0,5( não serve no campo dos reais) ,logo como as raízes são opostas ,a soma delas é zero
letra d).
sexta-feira, 5 de abril de 2013
A idade atual
Sistema de Equações
O quadrado da idade de Douglas menos a idade que ele tinha 5 anos atrás é igual 1727. A idade atual de Douglas, está entre:
a)0 e 9
b)10 e 19
c)20 e 29
d)30 e 39
e)40 e 49
Resposta:
idade atual de Douglas ==> D
idade que Douglas tinha há 5 anos ==>de (D - 5)
D² - (D - 5) = 1.727
D² - D + 5 = 1.727
D² - D + 5 - 1.727 = 0
D² - D - 1.722 = 0 ,logo vem:
D' = - 41 (não serve)
D'' = 42
D = 42 anos
42 anos está no intervalo de 40 e 49
letra e).
idade atual de Douglas ==> D
idade que Douglas tinha há 5 anos ==>de (D - 5)
D² - (D - 5) = 1.727
D² - D + 5 = 1.727
D² - D + 5 - 1.727 = 0
D² - D - 1.722 = 0 ,logo vem:
D' = - 41 (não serve)
D'' = 42
D = 42 anos
42 anos está no intervalo de 40 e 49
letra e).
quarta-feira, 3 de abril de 2013
Quadrado perfeito
Polinômios
Se o polinômio 3x² - 12x + k é um quadrado perfeito então k é um número:
a)ímpar
b)primo
c)divisível por 7
d)divisível por 5
e)divisível por 2
Resposta:
um trinômio quadrado perfeito é da forma:
a² + 2ab + b²
pela propriedade do trinômio quadrado perfeito,temos:
2ab = 2 .√(a².b²),daí em:
3x² - 12x + k, temos:
12 = 2 . √(3.k)
6 = √(3k)
(√3k)² = 6²
3k = 36
k = 12
letra e).
Se o polinômio 3x² - 12x + k é um quadrado perfeito então k é um número:
a)ímpar
b)primo
c)divisível por 7
d)divisível por 5
e)divisível por 2
Resposta:
um trinômio quadrado perfeito é da forma:
a² + 2ab + b²
pela propriedade do trinômio quadrado perfeito,temos:
2ab = 2 .√(a².b²),daí em:
3x² - 12x + k, temos:
12 = 2 . √(3.k)
6 = √(3k)
(√3k)² = 6²
3k = 36
k = 12
letra e).
segunda-feira, 1 de abril de 2013
Meios aritméticos
Progressão
A quantidade de múltiplos de 4 entre os números 550 e 3450, é:
a)325
b)455
c)525
d)655
e)725
Resposta:
P.A (552, 556, ...., 3448)
an = a1 + (n - 1).r
3448 = 552 + (n - 1).4
552 + 4n - 4 = 3448
4n = 3448 - 552 + 4
4n = 2900
n = 725
letra e).
A quantidade de múltiplos de 4 entre os números 550 e 3450, é:
a)325
b)455
c)525
d)655
e)725
Resposta:
P.A (552, 556, ...., 3448)
an = a1 + (n - 1).r
3448 = 552 + (n - 1).4
552 + 4n - 4 = 3448
4n = 3448 - 552 + 4
4n = 2900
n = 725
letra e).
sexta-feira, 29 de março de 2013
Idade do mais velho
Equação do 1º Grau
As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual a idade do mais velho ?
a)18
b)19
c)23
d)54
e)57
Resposta:
irmãos:A, B e C
idades: A = x, B = x/2 e C = x/3,logo:
x/3 + x/2 + x = 99
(2x + 3x + 6x)/6 = 99
11x/6 = 99
11x = 6.99
11x = 594
x = 594/11
x = 54
letra d).
irmãos:A, B e C
idades: A = x, B = x/2 e C = x/3,logo:
x/3 + x/2 + x = 99
(2x + 3x + 6x)/6 = 99
11x/6 = 99
11x = 6.99
11x = 594
x = 594/11
x = 54
letra d).
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