Segmentos

Geometria
Os segmentos mn,pq,rs,e ot, nessa ordem são proporcionais .

Se mn = 6 cm,

pq = (x-5) cm,

rs = x cm

e ot = (x+10) cm, então o valor da expressão pq + rs + ot, é:
a)50cm
b)40cm
c)30cm
d)20cm
e)10cm

Resposta :

mn / pq = rs / ot, pois são proporcionais,daí vem:

6 / x--5 = x / x+10=====> mas,produto dos meios é igual ao produto dos extremos, então:

x² -- 11x -- 60 =0 ===>assim

x' = 15 ===>daí
pq+ rs+ot -->
15--5+15+15+10 = 50
letra a).

10% de juros

Percentagem

Renata resolveu comprar um aparelho de som no valor de R$348,00 em 3 prestações sem juros.

O vendedor informou-lhe que ela poderia comprar o mesmo aparelho de som em 5 vezes,mas com 10% de juros.Nesse caso,por quanto sairia o aparelho?

a)R$230,80

b)R$283,80

c)R$288,30

d)R$382,80

e)R$388,20

Resposta:

10% de R$348,00 = 34,8
logo vem::
348 + 34,8 = R$382,80
letra d).

Dividindo o lucro

Sistema de Equações
Quatro sócios dividiram um lucro de R$ 1.570,00 de tal modo que ao 2°, coube R$ 70,00 a menos que ao 3° e R$ 50,00 a mais que ao 1°, enquanto ao quarto coube R$ 80,00 a mais que o 3°. Quanto recebeu,em Reais, o 1º sócio ?
a)500
b)420
c)350
d)300
e)200

Resposta

a + b + c + d =1570 (1)

b = c - 70

b = a + 50 , logo temos:

c -70 = a + 50

daí , a = c -120

d = c + 80

logo substituindo em 1 ,temos:

c -120 + c -70 + c + c + 80 = 1570

4c = 1680 / 4

c = 420

b = c -70

b = 350

d = c + 80

d = 500

Finalmente: a = c -120

a =300
letra d).

Somando raízes

 Equação literal
Ao desenvolver a equação x² + 3m² = 4mx,encontramos x' + x'' igual à:
a)4m
b)3m
c)2m
d)m
e)m/2

Resposta :

x² --- 4mx + 3m² =0 ========>logo
( 4m ± √(16m²--12m²) / 2

( 4m ± √4m² ) / 2

(4m ± 2m) / 2

x' = 6m/2

x' = 3m

x"= 2m/2

x" = m      
x' + x'' --> 3m + m = 4m
letra a).

O decágono

Geometria
PUC - SP) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a)36°
b)60°
c)72°
d)120°
e)144° 

Resposta:

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 360° Como o polígono tem 10 ângulos,então temos: 

360 / 10 = 36º
letra a).

Soma de dois quadrados

Equação literal
Seja x² + y² = 3xy. Então,o valor de (1+ y/x)³+(1+x/y)³ é igual à :
a)25
b)50
c)20
d)15
e)10

Resposta :

Vamos chamar (x+y)³ / x³ de A====> e ======>( y + x)³ / y³ de B

para achar A + B, que é o valor da expressão que queremos encontrar.

A /x³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

A /x³ = { x³ + y³ + 3xy(x + y) }

A /x³ =(x + y) {x² -- xy + y²} + (x + y)(3xy)

A /x³ = { (x + y) {3xy -- xy} + (x + y)3xy}

A /x³ = { (x + y) {2xy} + (x + y)3xy}

A/x³ = (x + y)5xy

A = 5xy(x + y) /x³ logo: A =5y (x+y) / x²

seguindo o mesmo procedimento para B ,teremos:

B = 5x(x + y) / y² daí vem:

A + B= (x + y)5y /x² + (x + y)5x /y² mas,mmc=x²y², logo

A + B= {(x + y)5y³ + (x + y)5x³} /x²y²

A + B= {5(x+ y)(x³ + y³)} /x²y²

A + B= {5(x + y)(x + y)(x² -- xy + y²)} x²y²

A + B= {5(x + y)²(x² + y² -- xy)} /x²y²

A + B= {5(x+ y)²(3xy -- xy)} /x²y²

A + B=5(x + y)² . 2xy / x²y²

A + B=(x² + 2xy + y²) . 10 / xy

A + B=(x² + y² + 2xy) . 10 / xy

A + B=( 3xy + 2xy ) . 10 / xy

A + B= 5xy . 10 / xy

A + B= 50
letra b).

Problema com dias

Operação com medida de tempo
Um período de tempo de 500 horas corresponde exatamente a quantos dias e horas?
a)10 dias e 20horas
b)10 dias e 23 horas
c)15 dias e 10 horas
d)20 dias e 15 horas
e)20 dias e 20 horas

Resposta:

500 h = 20 d 20 h
Porque 1 d = 24 h=======> logo
500 h dividida por 24 h(1 dia) = 20 d e restam 20 h .
logo: 500 horas correspondem à 20 dias e 20 horas.
letra e).

Jogo de cozinha

Percentagem
Uma loja oferece um jogo de cozinha por R$3.000,00 a vista ou 20% do valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$2.760,00 apos 6 meses. Qual é a taxa mensal de juros simples cobrada na operaçao?
a)2%
b)3%
c)20%
d)30%
e)31%

Resposta:

20% de 3000 = 600
600 + 2760 = 3360
logo vem:
M = C + J
3360 = 3000 + J
J = 360
mas, J = C.i.t/100
360 = 3000.i.6 /100
360 = 180.i
i = 360 / 180
i = 2%
letra a).

Simplificar

 Fração Decimal
Se A é igual à ( 3/10 - 1/4 ) ÷ -1 + (36/1000 ÷ 4/100 ) e B é igual à 20/17, então A . B, é:
a)3,0
b)2,5
c)2,0
d)1,5
e)1,0

Resposta:

(6--5)/20 ÷ -1 + ( 36/1000 x 100/4 )
1/20 ÷ -1 + (9/10 x 1/1 )
-1/20 + 9/10
(-1 + 18) / 20
17 / 20 = A,logo vem:
A . B---> 17/20 . 20/17
A . B = 1
letra e).

Simplificar

Expressão numérica
Ao resolver a expressão 18-[-4+6-(-3+1)], encontramos:
a)18
b)17
c)16
d)15
e)14

Resposta :
  18 - [-4 +6 - (-2)]
18 - [-4 + 6 + 2]
18 - [4]
14
letra e).

A comunidade

Regra de três
Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade.20 alunos aceitaram e em 10 dias trabalharam 3 h diárias, arrecadando 12kg/dia.Animados,30 novos alunos somam-se ao grupo, e passam a trabalhar 4h/dia nos dias seguintes até o término da campanha .Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
a)9,2kg
b)92kg
c)102kg
d)220kg
e)920kg

Resposta:

12kg/dia durante 10 dias = 120 kg,logo temos: 

120 alunos--------->10dias---->3h------> 120 kg
50 alunos---------->20 dias---->4h------> x kg
120 / x = 20/50 . 10/20 . 3/4
120 / x = 2/5 . 1/2 . 3/4
120 / x = 6 / 40
6x = 120 . 40
x = 4800 / 6
x = 800 kg
ou seja 50 alunos trabalhando 20 dias durante 4h arrecadaram 800 kg de alimentos
e 20 alunos em 10 dias durante 3h ,arrecadaram 120 kg;
daí vem: 800 + 120 = 920 kg
letra e).

Transformando em sistema

Função do 1º grau
Na função do 1º grau y = f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Ao calcular f(-1/2),encontramos:
a)8
b)7
c)6
d)5
e)4

Resposta :

A forma da equação do 1º grau é:
y = ax + b
para x=1 e y=4 substituindo vem :
4= a.1 + b
logo a + b = 4
para x= -2 e y= 10 substituindo vem:
10=a.-2 + b
logo -2a + b= 10
resolvendo o sistema:

[-2a+b=10
[a+b=4 , temos

a= -2 e b=6 , e a equação fica:

y = -2x + 6
logo para f( - 1/2 ) temos:

y = -2 (-1/2 ) +6

y= 1 +6

daí y=7
letra b).